，但李雅普诺夫指数要在混沌系统建立后才会提出） “如果它是负数，我们会发现初始偏差会在演化过程中被不断抹平——这代表它对初始条件不敏感，反之则极其敏感。” “而在一般动力学系统中呢，其演化总是可以被这样一个微分方程来描述，也就是d/dtX=f(X).......” 看着徐云洋洋洒洒写下的这些内容。 从兴趣小组离开后便一直【0v0】的乔彩虹忍不住挠了挠头发。 哎呀。 头有点痒，好像要长脑子了...... 其实吧。 徐云向叶笃正描述的内容，正是后世知名度很广的反馈系统和指数发散。 这也是为数不多的混沌系统在概念上的数学切入点。 当然了。 后世还有一些曼德布洛特集和多分形图桉等等，但这些都需要计算机进行辅助。 过了片刻。 看着徐云写出来的内容，叶笃正眼中隐隐闪过了一丝明悟： “....我好像有些明白了，韩立同志，大气系统的基本原理，其实符合决定论的逻辑？” “没错。” 徐云闻言，心中微微一松，用力点了点头： “这个系统并不是在驳斥决定论，而是因为决定论的方程出现了难以预测的现象，才令这个系统值得探究。” “它是以决定论为基础的理论，用决定论推出了难以预测的结果——这是一个非常重要的概念。” 在徐云来的后世。 有关混沌系统的概念，经常会出现两个误区。 一是认为混沌系统的存在驳斥了可知论或者决定论，和量子不确定性是一个概念。 这其实是一个非常离谱的错误。 混沌系统指的是一定时间内不可知，并不是不确定，它和和决定论本身是不冲突的。 同时混沌理论是纯数学机制，而量子不确定性是物理机制——经典动力学中存在混沌现象，纯量子力学中不存在混沌现象。 更重要的是。 混沌意味着蝴蝶效应和相空间的分形结构，要求是非线性动力学。 量子力学中的确定状态只能在希尔伯特空间中描述，是一种线性状态。 至于第二个误区嘛...... 就是混沌系统经常会莫名其妙的和‘哲学’扯上关系，最终越走越远。 比如说着说着就会扯上道家的定义，动不动就是道生一，一生二，二生三，三生万物。 然后末尾给你一个微信，加上去tmd就是推销檀香的..... 徐云一直担心叶笃正会误入这两个陷阱，这会导致叶笃正今后出现极其严重的研究壁垒，甚至可能精神上变成李火旺。 因此他从刚开始的时候，便在努力给叶笃正灌输混沌理论是纯数学机制这个概念。 “韩立同志。” 就在徐云给叶笃正解释到差不多之际。 一旁一直没说话的钱一....或者说钱秉穹突然开口了： “韩立同志，那么照你这样说，我们的世界其实很大部分都是非线性的了？” “那么如此一来，线性方程和线性规划能解决的问题岂非太少？” 听到钱秉穹这番话。 徐云忍不住看了他一眼。 随后强行按捺住见到大老的激动，平静的摇了头，解释道： “钱...额，钱一同志对吧，那倒未必。” “至少在我看来，线性系统其实是对非线性系统的一种‘最优线性近似’。” “它保留了非线性系统中那些最重要的定性性质，比如稳定性或者不稳定性，也就是动力系统的拓扑性质。” “根据微分拓扑的理论来分析，光滑流形上的那些可以被线性近似的非线性系统是通有的。” 说罢。 徐云再次拿起纸和笔，慢慢写了起来。 众所周知。 广义的说。 “线性系统”指的是其解满足线性叠加原理的系统，即: F(x_1+x_2+x_3+...)=F(x_1)+F(x_2)+F(x_3)+... 这个F不能简单地理解为只是一个可以写成显式的函数形式，而应该看做一个映射。 简而言之。 线性系统对应的也就是线性映射。 而在针对常微分方程动力系统的非线性的研究领域里所指的线性系统的形式则往往是这样的： \frac{dX}{dt}=A\cdot X其中X=[x1，x2，x3，...]T。 而A是一个常数矩阵，则这是一个线性的常微分动力系统。 与之相区别的非线性系统，则是无法写成以上形式的方程组所表征的系统。 比如有些是二阶、三阶、更高阶的系统，或者说形式上矩阵A中的项跟X的各项有关。 当然了。 非线性系统也包含偏微分方程中的非线性系统。 比如可以形成Turing Pattern的带有扩散项的系统。 但另一方面。 微分